ER1.17. Solución de la ecuación de estado no homogénea con valores propios reales y diferentes

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación de estado no homogénea, hallar la solución usando valores y vectores propios por los métodos de coeficientes indeterminados y variación de las constantes, obtener la matriz de transición del estado y analizar el resultado:

$\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  -3\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u, \mathbf{x}(0)=\mathbf{0}, u=e^{-t}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) hallar los valores propios; (ii) dar la solución de la ecuación homogénea; (iii) encontrar la matriz de transición del estado; (iv) hallar la solución de la ecuación no homogénea por el método de coeficientes indeterminados; (v) hallar la solución de la ecuación no homogénea por el método de variación de las constantes; (vi) comprobar la solución por otros medios; (vii) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Dado que la matriz $\mathbf{A}$ es triangular, los valores propios corresponden a los valores sobre la diagonal: $\{-1, -2\}$. Puesto que los valores están en el semiplano izquierdo, entonces el sistema es estable, y como son diferentes, los vectores propios (sin normalizar) se calculan directamente:

$\mathbf{v}_1=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right]$

$\mathbf{v}_2=\left[ \begin{array}{c} 3\\ 1\\\end{array} \right]$

La solución de la ecuación no homogénea es:

$\mathbf{x}_h=c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] e^{-t} + c_2\left[ \begin{array}{c} 3\\ 1\\\end{array} \right] e^{-2t}=\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \end{array} \right] =\mathbf{F}(t)\mathbf{c}$

De esta manera,

$\mathbf{F}(0)=\left[ \begin{matrix} 1& 3\\ 0& 1\\\end{matrix} \right]$

La inversa de la matriz anterior es:

$\mathbf{F}^{-1}(0)=\left[ \begin{matrix} 1&  -3\\ 0&  1\\ \end{matrix} \right]$

La matriz de transición del estado, según la definición, es:

$\mathbf{\Phi}(t)=\mathbf{F}(t)\mathbf{F}^{-1}(0)=\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1& -3\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  -3e^{-t}+3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\ \end{matrix} \right]$

Se deja al lector la tarea de verificar que $\mathbf{\Phi }(0)=\mathbf{I}$ y $\mathbf{\Phi }^{-1}(t)=\mathbf{\Phi}(-t)$, dos propiedades de matriz de transición del estado. 

La matriz de transición del estado se utiliza más adelante para hallar la solución de la ecuación no homogénea por el método de variación de las constantes.

Por el método de coeficientes indeterminados, la solución de la ecuación no homogénea se puede hallar con una forma similar a la del término independiente, pero con coeficiente ideterminados:

$\mathbf{x}_{nh}=\boldsymbol{a}e^{-t}$

Sin embargo, dicha solución ya se encuentra en la primera parte de la ecuación homogénea, por lo que se debe aumentar el grado del polinomio de coeficientes indeterminados (no es suficiente con multiplicar por $t$, como ocurre en las ecuaciones diferenciales):

$\mathbf{x}_{nh}=\left( \boldsymbol{a}t+\mathbf{b} \right) e^{-t}$, $\boldsymbol{a}=\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\\end{array} \right]$, $\mathbf{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\\end{array} \right]$

Derivando el término anterior:

$\dot{\mathbf{x}}_{nh}=\boldsymbol{a}e^{-t}-\left( \boldsymbol{a}t+\mathbf{b} \right) e^{-t}$

Reemplazando en la ecuación no homogénea:

$\boldsymbol{a}e^{-t}-\left( \boldsymbol{a}t+\mathbf{b} \right) e^{-t}=\mathbf{A} ( \boldsymbol{a}t+\mathbf{b}) e^{-t}+\mathbf{B}e^{-t}$

Cancelando $e^{-t}$:

$\boldsymbol{a}- \boldsymbol{a}t - \mathbf{b} = \mathbf{A}\boldsymbol{a}t + \mathbf{A}\mathbf{b} + \mathbf{B}$

Comparando a la izquierda y derecha los términos semejantes: 

$t) ~-\boldsymbol{a}=\mathbf{A}\boldsymbol{a}$

$t^0)~\boldsymbol{a}-\mathbf{b}=\mathbf{Ab}+\mathbf{B}$

De la primera ecuación se obtiene: 

$a_1=-3, a_2=0$.

De la segunda ecuación se obtiene:

 $b_2=1, b_1=\mathrm{arbitrario}=0$.

Por lo tanto,

$\mathbf{x}_{nh}=\left[ \begin{array}{c} -3\\ 0\\ \end{array} \right] te^{-t} + \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] e^{-t}$

La solución general es:

$\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_{nh} = c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] e^{-t} + c_2\left[ \begin{array}{c} 3\\ 1\\ \end{array} \right] e^{-2t} + \left[ \begin{array}{c} -3\\ 0\\ \end{array} \right] te^{-t} + \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] e^{-t}$

Haciendo $t=0$ y utilizando las condiciones iniciales se obtiene: $c_1=3, c_2=-1$. Por lo que la solución particular es:

$\mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} 3\\ 1\\ \end{array} \right] e^{-t} - \left[ \begin{array}{c} 3\\ 0\\\end{array} \right] te^{-t} - \left[ \begin{array}{c} 3\\ 1\\ \end{array} \right] e^{-2t} = \left[ \begin{array}{c} 3\left( e^{-t}-te^{-t}-e^{-2t} \right)\\ e^{-t} - e^{-2t}\\ \end{array} \right]$

La solución por el método de variación de las constantes es:

$\mathbf{x}(t) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}(0) + \mathbf{\Phi }(t)\int\limits_0^t{\mathbf{\Phi}(-\tau )\mathbf{Bu}(\tau)) d\tau}$

Reemplazando la matriz de transición del estado:

$\mathbf{x}(t) = \left[ \begin{matrix} e^{-t}&  -3e^{-t}+3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{matrix} e^{-t}&  -3e^{-t}+3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\\end{matrix} \right] \int\limits_0^t{\left[ \begin{matrix} e^{\tau}&  -3e^{\tau}+3e^{2\tau}\\ 0&  e^{2\tau}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] e^{-\tau}d\tau}$

Simplificando:

$\mathbf{x}(t) = \left[ \begin{matrix} e^{-t}&  -3e^{-t} + 3e^{-2t}\\ 0&  e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \int\limits_0^t{\left[ \begin{array}{c} -3+3e^{\tau}\\ e^{\tau}\\ \end{array} \right] d\tau}$

Integrando:

$\mathbf{x}(t) = \left[ \begin{matrix} e^{-t}& -3e^{-t}+3e^{-2t}\\ 0 &  e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} -3t+3e^t-3\\ e^t-1\\ \end{array} \right]  = \left[ \begin{array}{c} -3te^{-t} + 3e^{-t} - 3e^{-2t}\\ e^{-t}-e^{-2t}\\ \end{array} \right]$

La solución coincide con la obtenida por el método de coeficientes indeterminados.

Discusión y verificación

La coincidencia de la solución de la ecuación de estado por dos métodos diferentes permite confiar en la solución hallada. Sin embargo, se recurre a la simulación a partir del siguiente código para verificar la solución.

A = [-1 -3;0 -2]; 

B = [0; 1]; 

C = eye(2); 

D =[0; 0]; 

x0 = [0; 0]; 

S = ss(A, B, C, D); 

t = 0:0.01:10; 

u = exp(-t); 

x1_analitica = 3*(-t.*exp(-t) + exp(-t) - exp(-2*t)); x2_analitica = exp(-t) - exp(-2*t); 

x_simulacion = lsim(S, u, t, x0); 

plot(t, x1_analitica, t, x2_analitica, t(1:20:1001), x_simulacion(1:20:1001,:),'ko'); 

xlabel('t (seg)')

Los gráficos de las soluciones estables coinciden: