ER1.15. Ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial o en diferencias

Introducción (planteamiento)

Obtener la ecuación de estado a partir de las siguientes ecuaciones diferenciales y en diferencias, algunas de las cuales son ecuaciones no lineales, y analizar el resultado.

(a) $\begin{cases} \overset{(4)}{y}+t\cos \ddot{y}+(\dot{y})^3+\ln y=u(t-2)\\ y(0)=1, \dot{y}(0)=2, \ddot{y}(0)=-1, \dddot{y}(0)=4\\\end{cases}$

(b) $\begin{cases} y(k+3) - ky(k+2) + 0.3y(k+1) + 0.4y(k) = u(k-3)\\ y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-2\\ \end{cases}$

(c) $\begin{cases} \dddot{y} + y^2 = u + \dot{u} + \ddot{u}\\ y(0)=0, \dot{y}(0)=1, \ddot{y}(0)=-1, u(0)=0, \dot{u}(0)=-1\\ \end{cases}$

(d) $\begin{cases} y(k+2) + y(k+1) + 0.1y(k) = 0.3u(k+1) -u(k)\\ y(0)=1, y(1)=2, u(0)=1\\\end{cases}$

Método (plan de solución)

En cada uno de los casos se deben definir las variables de fase como la variable dependiente y sus primeras $(n-1)$ derivadas o diferencias finitas hacia delante. Sin embargo, cuando el término independiente tenga derivadas o diferencias de la entrada, como en los casos (c) y (d), es necesario incluir en las variables de fase la variable de entrada con $(m-1)$ derivadas en forma triangular.

Resultados (solución)

(a) Variables de fase y ecuación de estado de tiempo continuo:

$\begin{cases} x_1=y\\ x_2=\dot{y}\\ x_3=\ddot{y}\\ x_4=\dddot{y}\\ \end{cases}$

Derivando y usando la ecuación diferencial:

$\begin{cases} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=x_3\\ \dot{x}_3=x_4\\ \dot{x}_4=-t\cos x_3-x_{2}^{3}+\ln x_1+u(t-2)\\ \end{cases}$

Condiciones iniciales:

$\mathbf{x}(0)=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ -1\\ 4\\\end{array} \right]$

(b) Variables de fase y ecuación de estado de tiempo discreto:

$\begin{cases} x_1(k)=y(k)\\ x_2(k)=y(k+1)\\ x_3(k)=y(k+2)\\\end{cases}$

Diferencia hacia delante y uso de la ecuación en diferencias:

Condición inicial:

$\mathbf{x}(0)=\left[ \begin{matrix} 1&  2&  -2\\\end{matrix} \right] ^T$

En forma matricial:

$\mathbf{x}(k+1) =\left[ \begin{matrix} 0&  1&  0\\ 0&  0&  1\\ -0.4&  -0.3&  k\\ \end{matrix} \right] \mathbf{x}\left( k \right) +\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\\end{array} \right] u(k-3)$

$y(k)=\left[ \begin{matrix} 1&  0&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}(k)$

(c) Variables de fase para el caso cuando se tienen derivadas de la entrada, donde se debe observar la manera de introducir las $(m-1)$ derivadas de la entrada en una forma triangular empezando por la última ecuación:

$\begin{cases} x_1=y\\ x_2=\dot{y}+\gamma u\\ x_3=\ddot{y}+\alpha u+\beta \dot{u}\\\end{cases}$

Derivando se obtiene:

$\begin{cases} \dot{x}_1=\dot{y}=x_2-\gamma u\\ \dot{x}_2=\ddot{y}+\gamma \dot{u}=x_3-\alpha u-\beta \dot{u}+\gamma \dot{u}\\ \dot{x}_3=\dddot{y}+\alpha \dot{u}+\beta \ddot{u}=-x_{1}^{2}+u+\dot{u}+\ddot{u}+\alpha \dot{u}+\beta \ddot{u}\\\end{cases}$

Para eliminar las derivadas de la entrada se toma $\alpha =-1, \beta =-1, \gamma =-1$:

$\begin{cases} \dot{x}_1=x_2+u\\ \dot{x}_2=x_3+u\\ \dot{x}_3=-x_{1}^{2}+u\\\end{cases}$

$y=x_1$

Las condiciones iniciales son:

$\begin{cases} x_1(0)=y(0)=0\\ x_2(0)=\dot{y}(0)-u(0)=1\\ x_3(0)=\ddot{y}(0)-u(0)-\dot{u}(0)=0\\ \end{cases}$

(d) Variables de fase para el caso cuando se tienen diferencias de la entrada, donde se debe observar la manera de introducir las $(m-1)$ diferencias de la entrada en una forma triangular empezando por la última ecuación:

$\begin{cases} x_1(k)=y(k)\\ x_2(k)=y(k+1)+\alpha u(k)\\ \end{cases}$

Calculando las diferencias hacia delante:

$x_1(k+1) = y(k+1) = x_2(k)-\alpha u(k)$

$x_2(k+1) = y(k+2) + \alpha u(k+1) = -0.1x_1(k) - [ x_2(k)-\alpha u(k) ] + 0.3u(k+1)-u(k) + \alpha u(k+1)$

Para eliminar la diferencia finita se toma $\alpha =-0.3$, lo cual da:

$\begin{cases} x_1(k+1) = x_2(k) + 0.3u(k)\\ x_2(k+1) = -0.1x_1(k) - x_2(k) - 1.3u(k)\\ \end{cases}$

En forma matricial:

$\mathbf{x}(k+1) =\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ -0.1& -1\\ \end{matrix} \right] \mathbf{x}(k) +\left[ \begin{array}{c} 0.3\\ -1.3\\ \end{array} \right] u(k)$

$y(k)=x_1(k)$

Las condiciones iniciales son:

$\begin{cases} x_1(0) = y(0)=1\\  x_2(0) = y(1) - 0.3u(0) = 1.7\\ \end{cases}$

Discusión y verificación

La verificación implica, en este caso, prestar atención a los cálculos. Simular la ecuación diferencial y la ecuación de estado y comparar las respuestas carece de sentido, dado que la simulación requiere convertir la ecuación diferencial en ecuación de estado. Sin embargo, se puede recurrir a la herramienta de matemáticas simbólicas de MATLAB para obtener la solución de la ecuación diferencial directamente, pero es algo que se omite aquí.

Los anteriores ejemplos muestran la forma coherente de obtener la ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial o ecuación en diferencias con o sin derivadas o diferencias de la entrada. Lo importante es llegar a una ecuación de estado que no contenga derivadas o diferencias de la entrada, es decir, solo contenga $u(t)$ o $u(k)$, y, posiblemente, un retardo.