ER1.13. Interpretación de la función de transferencia de tiempo discreto

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente función de transferencia de tiempo discreto, hallar la respuesta al impulso y de ella obtener la respuesta temporal a una entrada escalón y una entrada sinusoidal.

$G(z)=\frac{1}{z+0.5}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) obtener la respuesta al impulso (secuencia de ponderación) analíticamente; (ii) a partir de la secuencia de ponderación escribir un programa para el cálculo de la respuesta a una entrada escalón unitario; (iii) a partir de la secuencia de ponderación escribir un programa para el cálculo de la respuesta a una entrada sinusoidal; (iv) verificar los resultados utilizando las funciones step y lsim de MATLAB; (v) analizar los resultados, en particular usando una aproximación FIR de la secuencia de ponderación.

Resultados (solución)

Cálculo analítico de la respuesta al impulso:

$g(k)=\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{1}{z+0.5} \right\} =\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{z}{z(z+0.5)} \right\} =(-0.5)^{k-1}u_s(k-1)$

La secuencia de ponderación es (se puede verificar por división larga):

$g(k)=\{ 0,1,-0.5,0.25,-0.125,0.0625,-0.03125,0.015625,\cdots\}$

La respuesta al escalón utilizando el teorema de convolución es:

$y(k)=\sum_{i=0}^k{g(k-i)u(i)}=\sum_{i=0}^k{g(i)\overset{=1}{\overbrace{u(k-i)}}}=\sum_{i=0}^k{g(i)}= g(0)+g(1)+\cdots +g(k)$

El código de MATLAB de este enlace permite obtener la secuencia de ponderación y la respuesta a un escalón unitario con la secuencia completa y solamente 8 términos (filtro FIR).

Secuencia de ponderación (respuesta al impulso):

Las respuestas temporales a partir de la secuencia de ponderación para diferentes entradas se muestran a continuación, donde se observa que la aproximación con un filtro FIR es bastante aceptable:

La respuesta a una señal sinusoidal utilizando el teorema de convolución es:

$y(k)=\sum_{i=0}^k{g(i)u(k-i)}=\sum_{i=0}^k{g(i)\sin (k-i)}$

Discusión y verificación

Los gráficos anteriores muestran la coincidencia de la respuesta temporal obtenida por simulación con los comandos step y lsim de MATLAB con la obtenida a partir de la secuencia de ponderación. En el caso de la respuesta a un escalón no se utiliza toda la secuencia de ponderación (filtro IIR, "Infinite Impulse Response") sino una parte, lo cual corresponde a un filtro FIR ("Finite Impulse response") dado que los últimos términos de la secuencia son muy pequeños. 

La respuesta a una señal sinusoidal inicia después de dos instantes de muestreo, lo cual es correcto, dado que la señal de entrada es igual a cero al inicio: $u(0)=\sin (0)=0$. Si se repite la simulación con una entrada coseno no se presenta ese aparente retardo adicional.