ER1.12. Polos y ceros de sistemas SISO y MIMO

Introducción (planteamiento)

Obtener con MATLAB los polos y ceros de los siguientes sistemas SISO y MIMO, y analizar los resultados, donde los tres últimos modelos son tomados del libro Multivariable Feedback Control: Analysis and Design.

(a) $G(s) =\frac{(s^2+2s+3)e^{-3s}}{s(s^3+6s+4s+2)}$

(b) $G(z) = \frac{z^2-0.4z+0.2}{z^2(z^3-0.4z+0.1)}$

(c) $\mathbf{G}(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\left[ \begin{matrix} s-1& s\\ -6& s-2\\\end{matrix} \right]$

(d) $\mathbf{G}(s)=\left[ \begin{matrix} \frac{s-1}{s+1}& \frac{s-2}{s+2}\\\end{matrix} \right]$

(e) $\mathbf{G}(s)=\frac{1}{(s+2)(s^2-1)}\left[ \begin{matrix} (s-1)(s+2)& 0& (s-1)^2\\ -(s+1)(s+2)& (s^2-1)& (s^2-1)\\ \end{matrix} \right]$

Método (plan de solución)

Para cada uno de los casos se usarán las funciones pole y zero de MATLAB para calcular, respectivamente, los polos y ceros. No se hará una cancelación de polos y ceros en los casos MIMO (la matriz de funciones de transferencia puede no tener una realización mínima). Se analizarán los resultados en términos de los polos y ceros de cada función de transferencia del sistema MIMO. 

Resultados (solución)

(a) Código de MATLAB y resultados (caso SISO de tiempo continuo):

G = tf ( [1 2 3], [1 6 4 2], 'InputDelay', 3); 

zero(G), pole(G)

pzmap(G)

Polos = $\{-5.3186,-0.3407\pm 0.5099i\}$

Ceros = $\{-1.0000\pm 1.4142i\}$

Mapa de polos y ceros:

(b) Código de MATLAB y resultados (caso SISO de tiempo discreto):

G = tf ( [1 -0.4 0.2], [1 -0.4 0.1 0 0],'Ts', 1); 

zero(G), pole(G)

Polos = $\{-0.7325,0.3662\pm 0.0489i,0,0\}$

Ceros = $\{0.2\pm 0.4i\}$

(c) Código de MATLAB y resultados (caso MIMO de tiempo continuo con ceros diferentes a los que aparentemente aparecen en las funciones de transferencia):

s = tf('s'); 

G = [s-1  s; -6   s-2]/((s+1)*(s+2)); % Otra forma de dar la función de transferencia

pole(G), zero(G)

Polos = $\{-1, -2\}$

Ceros invariantes = $\{-1, -1,-2, -2\}$ 

(d) Código de MATLAB y resultados (caso MIMO de tiempo continuo sin ceros, a pesar de que cada función de transferencia los tiene):

G = tf( {[1 -1]; [1 -2] }, { [1 1]; [1 2] } ); 

pole(G), zero(G)

Polos = $\{-1,-2\}$

Ceros invariantes: no tiene

(e) Código de MATLAB y resultados (caso MIMO de tiempo continuo con ceros invariantes, algunos diferentes de los esperados de la matriz de funciones de transferencia):

G = tf ( {[1 1 -2]  0  [1 -2 1];  -[1 3 2]  [1 0 -1]  [1 0 -1] }, [1 2 -1 -2]); 

pole(G), zero(G)

Polos = $\{-1,-1,-2,-2,1,1\}$

Ceros invariantes = $\{-1,1,1\}$

Discusión y verificación

La verificación, en estos casos, exige revisar detenidamente cada una de las funciones de transferencia o aplicar la definición de los polos y ceros a partir de sus menores. En Multivariable Feedback Control se muestra la solución analítica, la cual coincide con la obtenida con MATLAB.

Los resultados muestran que en el caso SISO los polos y ceros se pueden obtener directamente de la forma factorizada de la función de transferencia, pero en el caso MIMO no. En el caso MIMO los ceros pueden ser diferentes de los que se observan en cada una de sus funciones de transferencia, llegando incluso al caso de tener más ceros de los observables como en el caso (c) o no tener ceros como en el caso (d). 

En el caso MIMO, cuando se tiene un polo o un cero en el mismo lugar, éstos no se pueden cancelar directamente, dado que no solo importa el valor, sino también la dirección. Como se verá en la sección 1.10.8, en los casos (c) y (d) no hay cancelación de polos y ceros (su realización es mínima y los ceros invariantes y de transmisión coinciden), mientras que en el caso (e) hay una cancelación y los ceros que se muestran son los invariantes (los ceros que se muestran son los ceros invariantes). En el caso (d) que no tiene ceros no puede haber cancelación de polos y ceros.