ER1.11. Cálculo de la transformada inversa z para una señal sinusoidal

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente función en z hallar la transformada z inversa:

$Y(z)=\frac{0.2}{z^2-z+2}$

Método (plan de solución)

Las propiedades de la transformada z pueden utilizarse para obtener la forma adecuada de una función, como en este caso que se tiene una función similar al seno (con el discriminante se puede ver que se tienen raíces complejas):

$\mathcal{Z} \left\{ \sin ak \right\} =\frac{z\sin a}{z^2-2z\cos a+1}$

Los pasos para la solución son los siguientes: (i) dividir por 2 para obtener el 1 del tercer término del denominador; (ii) utilizar la propiedad de traslación compleja para eliminar el número debajo de cada variable $z$; (iii) como no hay $z$ ni $z\mathrm{sen}a$ en el numerador, es necesario multiplicar y dividir por $z\sin a$, lo cual lleva a un retardo; (iv) calcular el valor de $a$ (si no existe tal valor es que el discriminante no es negativo y se debió factorizar en los reales y aplicar fracciones parciales); (v) aplicar la propiedad de traslación real hacia atrás; (vi) verificar el resultado.

Resultados (solución)

Dividiendo por 2 el numerador y el denominador:

$Y(z)=\frac{\frac{0.2}{2}}{\left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) ^2-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) +1}$

Aplicando la propiedad de traslación compleja:

$y(k)=0.1\left( \sqrt{2} \right) ^k\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{1}{z^2-\frac{1}{\sqrt{2}}z+1} \right\}$

Completando para que se parezca a la transformada z de una función seno:

$\frac{1}{z^2-\frac{z}{\sqrt{2}}+1}=\frac{1}{z^2-2z\cos a+1}\times \frac{z\sin a}{z\sin a}=\frac{1}{\sin a}\frac{z\sin a}{z^2-2z\cos a+1}\times \frac{1}{z}$

El valor de $a$ es:

$2\cos a=\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos a=\frac{1}{2\sqrt{2}}, \sin a=\sqrt{1-\cos ^2a}=\frac{\sqrt{7}} {2\sqrt{2}},a \approx 1.21$

Se tiene:

$\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{1}{z^2-\frac{z}{\sqrt{2}}+1} \right\} =\frac{1}{\sin a}\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{z\sin a}{z\left( z^2-2z\cos a+1 \right)} \right\}$

Aplicando la propiedad de traslación real hacia atrás se obtiene:

$\mathcal{Z} ^{-1}\left\{ \frac{z\sin a}{z\left( z^2-2z\cos a+1 \right)} \right\} =\sin (a(k-1))u_s(k-1)$

Finalmente:

$y(k)=0.118(\sqrt{2}) ^k\sin (1.21(k-1))u_s(k-1)$

Discusión y verificación

Dado que el discriminante es menor que cero se esperaba una función sinusoidal y como no había $z$ en el numerador se esperaba un retardo, que es lo que se observa. Para la verificación se realiza el cálculo con el siguiente código de MATLAB:

syms z k

Y = 0.2/(z^2-z+2); 

y = iztrans(Y,k)

Se obtiene un resultado en los números complejos: