ER1.10. Solución de una ecuación en diferencias utilizando transformada z

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación en diferencias hacia atrás con $T_s=0.2 \mathrm{seg}$, resolverla aplicando la transformada z:

$y(k)-0.1y(k-1)-0.2y(k-2)=u(k-1)-u(k-2), u(k)=\delta (k)$

Método (plan de solución)

La ecuación en diferencias anterior no requiere de condiciones iniciales, dado que se asume que $y(k<0)=0$. Esta es una de las ventajas de dicho tipo de ecuaciones (aunque se pueden dar condiciones iniciales adicionales para $k\geqslant 0$). Además, se resuelve asumiendo que $T_s=1$.

Para resolver la ecuación se seguirás estos pasos: (i) cálculo de la transformada z de cada término, (ii) despeje de $Y(z)$, (iii) cálculo de la transformada z inversa utilizando fracciones parciales y las transformadas básicas y propiedades operacionales, (iv) verificar la transformada inversa usando la división larga y comparando con la solución recursiva, (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

La transformada z de cada término es:

$\mathcal{Z} \left\{ y(k) \right\} -0.1 \mathcal{Z} \left\{ y(k-1) \right\} -0.2\mathcal{Z} \left\{ y(k-2) \right\} =\mathcal{Z} \left\{ \delta (k-1) \right\} -\mathcal{Z} \left\{ \delta (k-2) \right\}$

$Y(z) - 0.1z^{-1}Y(z) - 0.2z^{-2}Y(z) = z^{-1} - z^{-2}$

Despejando $Y(z)$:

$Y(z) = \frac{z-1}{(z+0.4)(z-0.5)}$

Se pueden calcular las fracciones parciales y obtener soluciones con retardo (dado que no hay $z$ en el numerador de la fracción) o se puede hacer lo siguiente:

$\frac{Y(z)}{z} = \frac{z-1}{z(z+0.4)(z-0.5)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z+0.4} + \frac{C}{z-0.5}$

Donde, $A=5, B=-35/9, C=-10/9$.

$Y(z) = 5 - \frac{35}{9}\frac{z}{z+0.4} - \frac{10}{9}\frac{z}{z-0.5}$

La solución es:

$y(k) = 5\delta (k) - \frac{35}{9}(-0.4)^k - \frac{10}{9}(0.5)^k$

Los primeros valores son: $\{ 0,1,-0.9,\cdots \}$. El gráfico de la solución se muestra a continuación (se asume que $T_s=1$, pero como el período de muestreo es $T_s=0.2$, entonces simplemente se escala el eje temporal): 

El código de MATLAB para el gráfico de la solución es:

k = 0:10; 

y = 5*kroneckerDelta(sym(k)) - 35/9*(-0.4).^k -10/9*(0.5).^k; 

plot(k, y, 'bo', k, y)

xlabel('t (x 0.2 seg)'), ylim([-1 1.1])

La solución se puede obtener utilizando el siguiente código de MATLAB:

syms z k

Y = (z-1)/((z+0.4)*(z-0.5)); 

y = iztrans(Y,k)

Cuyo resultado es: 

 

Discusión y verificación

El gráfico corresponde a un comportamiento estable, lo cual concuerda con el hecho que el modelo tiene dos raíces características dentro del círculo unitario (-0.4 y 0.5). El primer valor de la función temporal es 0, lo que es correcto, dado que la diferencia entre el grado del denominador y el grado del numerador de $Y(z)$ es igual a 1.

De la ecuación en diferencias se pueden obtener de manera recursiva los primeros valores, los cuales concuerdan con los valores obtenidos a partir de la solución analítica, verificando así la solución:

$y(k)=0.1y(k-1)+0.2y(k-2)+\delta (k-1)-\delta (k-2)$

$y(0)=0.1y(-1)+0.2y(-2)+\delta (-1)-\delta (-2)=0$

$y(1)=0.1y(0)+0.2y(-1)+\delta (0)-\delta (-1)=1$

$y(2)=0.1y(1)+0.2y(0)+\delta (1)-\delta (0)=-0.9$

También se puede obtener la solución aplicando la transformada z inversa. Por todo lo anterior se puede afirmar que la solución analítica es correcta.