ER1.1. Ecuación diferencial lineal no homogénea

Introducción (planteamiento)

Resolver el siguiente problema de valor inicial por el método de coeficientes indeterminados y graficar la solución:

$\left\{ \begin{array}{l} \overset{(4)}{y}+2\dddot{y}+\ddot{y}=1+\cos t\\ y(0) =0,\dot{y}(0) =0,\ddot{y}(0) =0,\dddot{y}(0) =0\\\end{array} \right.$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) solución de la ecuación homogénea (ecuación y raíces características), prestando atención a las raíces múltiples (en ese caso se debe multiplicar por $t^m$); (ii) obtención de la solución de la ecuación no homogénea por el método de coeficientes indeterminados, poniendo atención al caso cuando la solución propuesta está en la solución de la ecuación homogénea (en ese caso se debe multiplicar por $t^m$); (iii) sumar las dos soluciones anteriores; (iv) utilizar las condiciones iniciales para hallar la solución particular y resolver el problema de valor inicial; (v) verificar la solución.

Resultados (solución)

Solución de la ecuación homogénea:

$\bar{y}+2\dddot{y}+\ddot{y}=0$

Ecuación y raíces características:

$\lambda ^4+2\lambda ^3+\lambda ^2=0$

$\lambda ^2\left( \lambda ^2+2\lambda +1 \right) =0$

$\lambda ^2\left( \lambda +1 \right) ^2=0$

$\lambda =\{0,0,-1,-1\}$

Solución de la ecuación homogénea, teniendo en cuenta que hay raíces múltiples:

$y_h=c_1+c_2t+c_3e^{-t}+c_4te^{-t}$

Término independiente:

$u=1+\cos t$

Solución por el método de coeficientes indeterminados:

$y_{nh}=A+B\cos t+C\sin t$

Sin embargo, $A$ está en $y_H$, por lo que hay que multiplicar por $t$: $At$. Pero, una vez más, esta solución está en $y_H$ y hay que multiplicar de nuevo por $t$: $At^2$. La solución propuesta es:

$y_{nh}=At^2+B\cos t+C\sin t$

Se deriva 4 veces $y_{nh}$, se reemplaza en la ecuación diferencial:

$-2C\cos t+2B\sin t+2A=1+\cos t$

Se comparan los términos semejantes a la izquierda y derecha, lo cual da:

$A=1/2, B=0,C=-1/2$

$y_{nh}=\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}\sin t$

La solución general es:

$y=c_1+c_2t+c_3e^{-t}+c_4te^{-t}+\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}\sin t$

Para resolver el problema de valor inicial es necesario derivar tres veces y reemplazar en las condiciones iniciales, lo cual da el siguiente sistema de cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas:

$\left\{\begin{array}{l} c_1+c_3=0 \\ c_2-c_3+c_4-\frac{1}{2}=0 \\ c_3-2c_4+1=0 \\ -c_3+3c_4+\frac{1}{2}=0\\ \end{array} \right.$

El sistema anterior en forma matricial tiene la siguiente forma:

$\left[ \begin{matrix} 1&  0&  1&  0\\ 0&  1&  -1&  1\\ 0&  0&  1&  -2\\ 0&  0&  -1&  3\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} c_1 \\  c_2 \\  c_3 \\  c_4 \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1/2\\ -1\\ -1/2\\ \end{array} \right]$

La solución del sistema de ecuaciones anterior (se debe saber resolver manualmente) es:

$c_1=4,c_2=-2,c_3=-4,c_4=-1.5$

El código de MATLAB para la solución es:

A = [1 0 1 0;0 1 -1 1;0 0 1 -2;0 0 -1 3]; 

B = [0; 1/2; -1; -1/2]; 

C = A\B    % Multiplicación por la inversa de A por la izquierda, mejor que C = inv(A)*B

La solución final del problema de valor inicial es:

$y=4-2t-4e^{-t}-1.5te^{-t}+\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}\sin t$

El gráfico de la solución se obtiene con el siguiente código de MATLAB,  donde se observa que la solución crece con el tiempo debido a las funciones $t$ y $t^2$, por lo que se grafica para un corto tiempo:

t = 0:0.01:1; y = 4 -2*t - 4*exp(-t) - 1.5*t.*exp(-t) + 0.5*t.^2 - 0.5*sin(t); 

plot(t,y), xlabel('t (seg)')

Discusión y verificación

La solución se puede verificar de diferentes maneras: (1) reemplazando la solución en la ecuación diferencial, (2) resolviendo numéricamente (simulando) el modelo y comparando los gráficos de la solución, (3) usando software especializado, (4) otros posibles. En este ejercicio se aplica el método 3.

Código de MATLAB utilizado para la verificación:

syms y(t)

Dy = diff(y,t); D2y = diff(y,t,2); D3y = diff(y,t,3); D4y = diff(y,t,4);

ode = D4y + 2*D3y + D2y == 1+cos(t);

cond1 = y(0) == 0; cond2 = Dy(0) == 0; cond3 = D2y(0) == 0; cond4 = D3y(0) == 0;

conds = [cond1 cond2 cond3 cond4]; 

ySol(t) = dsolve(ode, conds) 

simplify(ySol)

Resultado: 

Los resultados coinciden, por lo que se puede asegurar que la solución es correcta.

Es interesante ver que si se da el conjunto fundamental de soluciones se puede determinar cuáles son las raíces características y obtener así la ecuación diferencial homogénea.