EP6.1. Observadores de estado

Dados los siguientes modelos matemáticos (se deben dar valores adecuados a los parámetros cuando sea necesario), donde en el caso no lineal se debe linealizar en un punto de equilibrio, (i) determinar la observabilidad y el número de condición de la matriz de observabilidad del modelo de tiempo continuo y tiempo discreto, tomando como salida una de las variables de estado; (ii) diseñar un observador de predicción de tiempo discreto; (iii) diseñar un observador actual de tiempo discreto; (iv) diseñar un observador reducido de tiempo discreto; (v) simular el sistema en MATLAB con cada observador, adicionando un pequeño ruido blanco gaussiano a la salida, utilizando una entrada RBS de período base igual a 20 veces el período de muestreo; (vi) graficar los estados estimados y compararlos con los estados verdaderos conocidos (dado que es un problema de simulación), probando con errores de los parámetros del modelo y con diferentes ubicaciones de los polos del observador; (vii) interpretar los resultados.

1. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 3& 0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u$
2. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 2&  0\\ 0&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u$
3. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 2&  0\\ -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 3\\\end{array} \right] u$
4. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 2& 0\\ 0.02& 1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u$
5. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-x_1+0.1(1-x_{1}^{2})x_2\\\end{array} \right.$
6. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=ax_1x_2+u \\ \dot{x}_2=x_{1}^{2}-bx_1x_2\\\end{array} \right.$
7. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{u}{ml}\\\end{array} \right.$
8. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=\alpha x_1-\beta x_1x_2+u\\ \dot{x}_2=\delta x_1x_2-\gamma x_2\\\end{array} \right.$
9. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-\frac{k_1}{A}\sqrt{x_1-x_2}+\frac{a}{A}u\\ \dot{x}_2=-\frac{k_2}{A}\sqrt{x_2}+\frac{k_1}{A}\sqrt{x_1-x_2}-\frac{k_2}{A}u\sqrt{x_2}\\\end{array} \right.$
10. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=9.8-\frac{2x_{3}^{2}}{x_1}-0.1x_2\\ \dot{x}_3=0.01x_2-10x_3+10u\\\end{array} \right.$