EP3.2. Métodos de estabilidad directo e indirecto de Lyapunov

Dados los siguientes modelos no lineales, (i) aplicar el método directo de Lyapunov para determinar la estabilidad de un punto de equilibrio (si no está en (0,0) es necesario realizar un cambio de variables); (ii) aplicar el método indirecto de Lyapunov; (iii) dibujar el plano de fase con la función pplane de MATLAB y verificar los resultados anteriores; (iv) verificar el resultado con simulación.

1. $\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-x_1-\varepsilon (x_1^2-1)x_2\\ \end{array} \right.$     $\varepsilon =0,\varepsilon <0,\varepsilon >0$
2. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-x_1+x_2^2\\ \dot{x}_2=-x_2\\ \end{array} \right.$
3. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_1^3-4x_1-x_2\\ \dot{x}_2=x_1-x_2\\ \end{array} \right.$
4. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_1(x_2-1)+u\\ \dot{x}_2=x_2(x_1-2)\\ \end{array} \right.$
5. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_1(x_1^2+x_2^2-2)-4x_1x_2^2\\  \dot{x}_2 = 4x_1^2x_2+x_2(x_1^2+x_2^2-2)\\ \end{array} \right.$
6. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_1(x_1^2-2x_2)(x_1^2-1)\\ \dot{x}_2=(x_1+x_2)(x_{1}^{2}-1)\\ \end{array} \right.$   $V(\mathbf{x})=ax_1^2+bx_2^2$
7. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-4x_1-3x_2\\ \dot{x}_2=4x_1\\ \end{array} \right.$    $V(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T\mathbf{Px}$
8. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-x_1+x_2 \\ \dot{x}_2=(x_1+x_2)senx_1-3x_2\\ \end{array} \right.$
9. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-x_1+\varepsilon \left( \frac{x_2^3}{3}-x_2 \right)\\ \end{array} \right.$    $V(\mathbf{x})=ax_1^2+bx_2^2$