EP3.1. Curva de linealidad, puntos de equilibrio y linealización

Dados los siguientes modelos no lineales, (i) calcular los puntos de equilibrio analíticamente para cada valor dado de la entrada $u$ y verificar con el cálculo numérico con el código de MATLAB dado (se requiere una cuenta de MATLAB),; (ii) linealizar analíticamente en cada punto de equilibrio del ejercicio anterior y dar la solución en la forma matricial; (iii) con el código de MATLAB dado (se requiere una cuenta de MATLAB), trazar la curva de linealidad por simulación con al menos 20 valores constantes de la entrada, especificar los puntos de equilibrio para dichas entradas constantes, linealizar con la función linmod de MATLAB y verificar los resultados de la primera tarea, comparar en simulación la respuesta temporal del modelo no lineal con la respuesta temporal del modelo lineal aproximado con una entrada escalón y una entrada sinusoidal cerca y lejos del punto de equilibrio, y analizar los resultados.

1. Modelo SIR

 $\left\{ \begin{array}{l} \frac{ds}{dt}=-\alpha si\\ \frac{di}{dt}=\alpha si-\beta i+u(t)\\\end{array} \right.$

$s(0)=0.8,i(0)=0.2,\beta =0.2,\gamma =0.17,u=\{0,0.5,1\}$

2. Péndulo simple

 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{u(t)}{ml}\\ \end{array} \right.$

 $x_1=\theta ,x_2=\dot{\theta},\theta(0) =70^{\circ},\dot{\theta}(0) =0~\mathrm{rad/s}, u=F_{ext}=\{0,1,2\}$

$m=0.45~\mathrm{kg}, l=0.84~\mathrm{m}, g=9.843~\mathrm{m/{s}^2}$

3. Oscilador de resistencia negativa

 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-x_1+\varepsilon (1-x_{1}^{2})x_2\\ \end{array} \right.$        

$x_1=v, x_2=\dot{v}, \varepsilon =0.5, x_1(0)= x_2(0)=0$

4. Modelo presa-depredador

 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=\alpha x_1-\beta x_1x_2+u(t)\\ \dot{x}_2=\delta x_1x_2-\gamma x_2\\ \end{array} \right.$

 $x_1=P, x_2=D, \alpha =2, \beta =1.2, \gamma =1, \delta =0.9, P(0)=5, D(0)=3, u=\{0,0.2,0.5\}$

5. Dos tanques acoplados

 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-\frac{k_1}{A_1}\sqrt{x_1-x_2}+\frac{a}{A_1}u(t)\\ \dot{x}_2=\frac{k_1}{A_2}\sqrt{x_1-x_2}-\frac{k_2}{A_2}\sqrt{x_2}\\\end{array} \right.$

 $A_1=A_2=0.45~\mathrm{m}^2, a=0.0005~\mathrm{m^3/s}, k_1=0.065~\mathrm{m^{2.5}/s}, k_2=0.047~\mathrm{m^{2.5}/s}, u=\{0,20,50,90\} \%$

6. Levitador magnético

$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=g-\frac{kx_{3}^{2}}{mx_1}-\frac{f}{m}x_2\\ \dot{x}_3=\frac{k_i}{L}x_2-\frac{R}{L}x_3+\frac{u(t)}{L}\\\end{array} \right.$

$m=0.18~\mathrm{kg},f=1.3~\mathrm{Ns/m},g=9.8~\mathrm{m/{s}^2},R=20~\mathrm{\Omega}, L=0.05~\mathrm{H}, k=0.0028~\mathrm{m/A^2}$, $k_i=0.0001~\mathrm{Vs/m},u=\{0,1,10\}$

7. $\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\\ \dot{x}_2=x_1+u\\\end{array} \right.$,       $u=\{0,1\}$

8. $\left\{\begin{array}{l}\dot{x}_1=x_{1}^{2}+u\\\dot{x}_2=-(x_{1}^{2}+1)x_2\\\end{array} \right.$,  $u=\{0,1\}$

9. $\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2-\sin x_1\\ \dot{x}_2=x_{2}^{2}-u\\ \end{array} \right.$,      $u=\{0,1\}$

10. $\left\{\begin{array}{l} \dot{r}+4r-r\omega ^2=0\\ \dot{\omega}-r^2+u=0\\ \end{array} \right.$ ,      $u=\{0,1\}$

11. $\ddot{x}+u(t)x+x^3=0,u=\{-1,1\}$

12. $\dot{T}=T^2-30T+u(t),u=\{1000,2000\}$

13. $\dot{x}=u-x\left| x \right|$,   $u=\{0,1\}$

14. $\left\{\begin{array}{l} \dot{P}=-4.2\sqrt{P}+5.3T\\ \dot{T}=T^2-77.5T-5.5P+u\\ \end{array} \right.$,    $u=\{0,1\}$

15. $\left\{\begin{array}{l} \dot{\tau}=-\frac{\tau}{T}+\frac{K}{T}u\\ \dot{v}=\frac{\tau}{mr}\\ \dot{m}=0 \\ \end{array} \right.$,   $K=0.89,T=1.2,r=0.66$,    $u=\{0,1\}$