EP2.7. Teoría de errores y aproximación

Los siguientes problemas tienen relación con la teoría de errores y aproximación, la cual exige un manejo adecuado de las cifras significativas de las magnitudes medidas y de su propagación a través de operaciones algebraicas.

A. Cifras significativas

Expresar los siguientes resultados de manera correcta con el error relativo y el error absoluto con un número de cifras significativas igual a (i) 1, (ii) 2 y (iii) 3.

1. $a=1.34256584\pm 0.12345629456$
2. $a=2.76852906\pm 1.156789$
3. $a=2.34\times 10^{-4}\pm 1.156789\times 10^{-5}$
4. $a=34.56\times 10^{-5}\pm 12.27\times 10^{-7}$
5. $a=1234.345\pm 263.1$

B. Cifras significativas

Dadas las siguientes cifras y su error relativo, especificar de manera correcta el valor esperado (con el número correcto de cifras significativas) y su valor absoluto en el formato $a\pm \Delta a~(\varepsilon_a )$ con el error absoluto con (i) una cifra significativa y (ii) dos cifras significativas.

1. $a=1.34256784,\mathrm{ }\varepsilon =12\mathrm{ }\%$
2. $a=1.34256784,\mathrm{ }\varepsilon =0.1\mathrm{ }\%$
3. $a=1.342567,\mathrm{ }\varepsilon =0.01\mathrm{ }\%$
4. $a=0.04523,\mathrm{ }\varepsilon =20\mathrm{ }\%$
5. $a=0.04523,\mathrm{ }\varepsilon =1\mathrm{ }\%$
6. $a=342.7893,\mathrm{ }\varepsilon =10\mathrm{ }\%$
7. $a=342.7893,\mathrm{ }\varepsilon =0.5\mathrm{ }\%$

C. Desviación estándar

En los ejercicios del numeral B, indicar la desviación estándar si se asume que la distribución de probabilidad es (i) normal, (ii) uniforme. Se debe que recordar que no siempre el valor absoluto en un intervalo de confianza indica la desviación estándar, pues depende del tipo de distribución de probabilidad.

D. Intervalos de confianza 

Para cada uno de los ejercicios del numeral B (con los datos en la forma correcta), asumiendo el número de muestras $N$ y el nivel de confianza $p$ que se especifica, (i) indicar el error estándar y (ii) el intervalo de confianza. Se debe usar la distribución t de Student ($t_{p,n}$). Ver la tabla t-Student. Cálculo con MATLAB: tinv.

1. $n=100, p=0.70$
2. $n=100, p=0.95$
3. $n=100, p=0.99$
4. $n=100,p=0.999$
5. $n=1000,p=0.70$
6. $n=1000,p=0.95$
7. $n=1000,p=0.99$
8. $n=40,p=0.70$
9. $n=40,p=0.95$
10. $n=40,p=0.99$
11. $n=68,p=0.96$

E. Fórmula de propagación del error

Dadas las siguientes magnitudes con sus intervalos de confianza y la operación que las relaciona, calcular el intervalo de confianza del resultado de la operación con 1 cifra significativa y expresar la solución en la forma $a\pm \Delta a~(\varepsilon_a)$ con (i) la fórmula de primer orden y (ii) la fórmula de segundo orden; (iii) analizar el resultado.

1. $A=bh/2, b=2.34\pm 0.09, h=4.3\pm 0.4$
2. $y=a^2, a=1.435\pm 0.006$
3. $y=a^3,\ a=1.435\pm 0.006$
4. $z=x(x+y)(x-y)^{-1}, x=1.23\pm 0.03, y=0.237\pm 0.005$
5. $z=y-x, x=2.52\pm 0.01, y=2.55\pm 0.03$
6. $y=y_0+v_0t+0.5gt^2, y_0=0.000\pm 0.005, v_0=0.03234~(\varepsilon=8.3\%)$, $g=9.817845~( \varepsilon =1.4\%) , t=5.23145~(\varepsilon =5.3\%)$
7. $y=\log a, a=34 \pm 2$
8. $y=r\cos \theta, \theta =0.9250 \pm 0.0035, r=2.0 \pm 0.2$
9. $g=\frac{4\pi l}{p^2}, l=2.34 \pm 0.01~\mathrm{m}, P=1.73 \pm 0.06~\mathrm{seg}$

F. Método de Montecarlo con distribución normal

A partir del código de MATLAB dado (se requiere una cuenta de MATLAB), utilizar el método de Montecarlo con $N=100,000$ para resolver los ejercicios del numeral E con un muestreo gaussiano, y analizar los resultados.

G. Método de Montecarlo con distribución uniforme

A partir del código de MATLAB dado (se requiere una cuenta de MATLAB), utilizar el método de Montecarlo con $N=100,000$ para resolver los ejercicios del numeral E con un muestreo uniforme, y analizar los resultados.

H. Método “Crank Three Times”

Utilizar el método “Crank Three Times” para resolver los ejercicios del numeral E con un muestreo gaussiano, y analizar los resultados. Revisar si los intervalos de confianza son simétricos.