EP1.8. Aplicación de la transformada de Laplace

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales, aplicar las fórmulas básicas y las propiedades de la transformada de Laplace para: (i) calcular $Y(s)$ ; (ii) calcular la transformada inversa de $Y(s)$ dejando indicados los coeficientes de las fracciones parciales cuando aplique (solución $y(t)$ de la ecuación diferencial); (iii) calcular los coeficientes de las fracciones parciales cuando aplique y dar la solución final de la ecuación diferencial; (iv) bosquejar el gráfico de la solución; (v) verificar la solución con las funciones simbólicas de MATLAB (ilaplace, laplace, partfrac, dsolve).

A. Solución de ecuaciones diferenciales lineales simples

En estos ejercicios se aplican las propiedades de linealidad y traslación compleja de la transformada de Laplace.

$\dot{y}=0,y(0)=1$
$\dot{y}=1,y(0)=0$
$\dot{y}+2y=0,y(0)=1$
$\dot{y}+2y=1,y(0)=0$
$\dot{y}+2y=e^{-3t},y(0)=0$
$\dot{y}+2y=\mathrm{sen}3t,y(0)=0$
$\dot{y}+2y=1+4e^{-2t}-5\sin 3t,y(0)=0$
$\dot{y}=\cos t,y(0)=0$
$\dot{y}+2y=\cos 2t,y(0)=0$
$\ddot{y}=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}=1+2t+t^2,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}=1,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+4y=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+4y=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$
$\ddot{y}+4y=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$
$\ddot{y}+2\dot{y}+y=0,y(0)=-1,\dot{y}(0)=1$
$\ddot{y}+2\dot{y}+y=1,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+2\dot{y}+y=t^2e^{-t},y(0)=0,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+3\dot{y}+2y=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+3\dot{y}+2y=1,y(0)=\dot{y}(0)=0$
$\dddot{y}+3\ddot{y}+2\dot{y}=1,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=0$
$\dddot{y}+3\ddot{y}+2\dot{y}=e^{-2t},y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+2\dot{y}+5y=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+2\dot{y}+5y=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$
$\ddot{y}+4y=\mathrm{sen}t,y(0)=\dot{y}(0)=0$
$\ddot{y}+4\dot{y}=te^{-3t},y(0)=\dot{y}(0)=0$
$\dddot{y}=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=2,\ddot{y}(0)=-1$
$\dddot{y}=1,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=0$
$m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0,m=1,k=2,f=1,F_{ext}=1$
$m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0,m=1,k=2,f=2,F_{ext}=1$
$m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0,m=1,k=1,f=0,F_{ext}=1$

B. Solución de ecuaciones diferenciales más avanzadas

En estos ejercicios se aplican todas las fórmulas básicas y las propiedades de la transformada de Laplace para hallar la solución. Además, verificar la solución por simulación (función lsim de MATLAB) .

$\dddot{y}+1.25\ddot{y}+0.4\dot{y}=1+\cos 2.5t,y(0)=1,\dot{y}(0)=0,\ddot{y}(0)=0$
$\overset{(5)}{y}+\overset{(4)}{y}=1+t\sin t+\cos t,\mathrm{c.i. = 0}$
$\ddot{y}+4y=u_s(t-1)) -2u_s(t-2), y(0) =\dot{y}(0)) =2$
$\ddot{y}+y=f(t), y(0)=0,\dot{y}(0)=1,f(t)=\left\{ \begin{matrix} 0,& 0\leqslant t<\pi\\ 1,& \pi \leqslant t<2\pi\\ 0,& t\geqslant 2\pi\\\end{matrix} \right.$
$\dot{y}+y=f(t) ,y(0) =1,f(t) =\left\{ \begin{array}{l} e^{-t}, & 0\le t<3\\0, & t \ge 3\\ \end{array} \right.$
$\dot{y}+y=f(t), y(0) =0,f(t)=\left\{ \begin{matrix}t, &0 \le t<1\\ 0, &t\ge 1\\ \end{matrix} \right.$
$\ddot{y}+y=f(t), y(0)=0,\dot{y}(0)=1,f(t)=\left\{ \begin{matrix} 0,& 0\leqslant t<\pi\\ 1,& \pi \leqslant t<2\pi\\ 0,& t\geqslant 2\pi\\\end{matrix} \right.$
$\dot{y}+3y=g(t), y(0) =1$
$\dot{y}+y=f(t), y(0) =3$
(*) $\ddot{y}+2ty=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$

C. Solución de ecuaciones de estado (sistemas de ecuaciones diferenciales)

$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=-y\\ \dot{y}=x\\ \end{array}\right. ~~x(0)=2,y(0)=0$
$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-x-3y\\ \dot{y}=x-y \\\end{array} \right. ~~x(0)=1,y(0)=0$
$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=2x-y+1\\ \dot{y}=x+2y \\\end{array} \right. ~~x(0)=1,y(0)=-1$

D. Solución de ecuaciones integrales y dífero-integrales

$\int\limits_0^t{y(x)dx}=t$
$\int\limits_0^t{y(x)dx}=e^{-t}$
$\int\limits_0^t{y(x)dx}=\cos t$
$\int\limits_0^t{y(x)dx}=y(t)$
$\int\limits_0^t{y(x)dx}=te^{-t}$
$\int\limits_0^t{y(x)dx}=t\cos t$
$\dot{y}+\int\limits_0^t{y(x)dx}=1,y(0)=0$
$y(t)-2\int\limits_0^t{\sin (t-\tau)y(\tau )d\tau}=\sin t$

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