EP1.24. Transformaciones lineales y formas canónicas diagonal y de Jordan

Ejercicio propuesto

Dadas las siguientes ecuaciones de estado, (i) transformar a la forma canónica diagonal o forma canónica de Jordan (comprobar los resultados con la función jordan); (ii) resolver la ecuación de estado transformada (más fácil por ser diagonal o cuasidiagonal) por medio de la solución de cada ecuación diferencial, si la entrada es un escalón unitario; (iii) obtener con la función step de MATLAB la respuesta temporal de los modelos original y transformado, y comparar los gráficos con los de la solución de la tarea (ii).

  1. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -4&  -3\\ 0&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  2. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 0&  1\\ -1&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  3. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 0&  -2\\ 1&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  4. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  -2\\ 1&  -3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  5. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0&  -1\\ 2&  -3&  -2\\ 0&  0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 0&  1&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  6. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0&  0\\ 1&  -2&  -1\\ 0&  0&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 0&  1&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  7. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -6&  0&  4\\ -1&  -3&  3\\ -2&  0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 1\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} 0&  1&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  8. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -2&  0&  0&  0\\ -1&  -3&  -1&  0\\ 0&  0&  -2&  0\\ -1&  -1&  -1&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  9. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -2&  0&  1&  0\\ 0&  -2&  0&  -1\\ -1&  -1&  -4&  1\\ -2&  -2&  -3&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  10. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -1&  -1&  1\\ -1&  -3&  -1&  -1\\ 0&  0&  -2&  0\\ -2&  -2&  -2&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  11. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -5&  0&  0&  0\\ 1&  -4&  2&  -1\\ -2&  -2&  -8&  1\\ -1&  -1&  -1&  -5\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  12. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -1&  -1&  1\\ 2&  0&  4&  -3\\ -3&  -3&  -7&  2\\ -2&  -2&  -2&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  13. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -2&  -2&  2\\ 1&  -1&  3&  -3\\ -2&  -1&  -5&  1\\ -2&  -1&  -1&  -3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  14. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -2&  -2&  2\\ 5&  3&  9&  -5\\ -4&  -3&  -7&  1\\ 0&  1&  3&  -5\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  15. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -2&  -2&  2\\ 3&  1&  4&  -2\\ -1&  0&  -2&  -1\\ 1&  2&  3&  -4\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 2\\\end{array} \right] u,y=\left[ \begin{matrix} -1&  -2&  -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}(0)=0$
  16. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -4.5&  -5.75&  -3&  5.75&  3.5&  -0.75\\ -2&  -1.5&  -1&  -4.5&  -5&  -1.5\\ -2.5&  1.25&  -7&  -2.25&  -2.5&  1.25\\ -2&  1&  0&  -8&  -2&  1\\ 1.5&  6.25&  2&  -5.25&  -9.5&  -1.75\\ 0&  0.5&  -1&  0.5&  -3&  -5.5\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 0\\ 2\\ -1\\ 4\\\end{array} \right] u,\mathbf{x}(0)=0,\mathbf{C}=\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ 0.75\\ 0\\ 0.25\\ -0.5\\ 0.75\\\end{array} \right] ^T$

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