EP1.18. Ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial o en diferencias

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales o en diferencias, (i) obtener la ecuación de estado en variables de fase y, en el caso de modelos lineales, dar la ecuación de estado en forma matricial ($\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{B}u, y=\mathbf{Cx}$); (ii) especificar el vector de condiciones iniciales (si no se dan las condiciones iniciales, suponer que son iguales a cero). Nota: en la ecuación de estado no debe quedar ninguna derivada o diferencia de la entrada.

A. Caso de tiempo continuo

1. $\ddot{y}+2\dot{y}+3y=u(t),y(0)=1,\dot{y}(0)=2$
2. $\ddot{y}+2\dot{y}+y=u(t),y(0)=\dot{y}(0)=0$
3. $\dddot{y}=u(t),y(0)=\dot{y}(0)=0$
4. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=u(t),y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=0$
5. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=0,y(0)=\dot{y}(0)=1,\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=-1$
6. $\ddot{y}+y=\sin t,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$
7. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=1,y(0)=\dot{y}(0)=1,\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=0$
8. $\dddot{y}+1.25\ddot{y}+0.4\dot{y}=1+\cos t,y(0)=1,\dot{y}(0)=0,\ddot{y}(0)=0$
9. $\overset{(5)}{y}+\overset{(4)}{y}=1 + t \sin t + \cos t, \mathrm{c.i. = 0}$
10. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. 
11. $\overset{(6)}{y}+3\dddot{y}-2\dot{y}+4y=0,\mathrm{c.i. = 0}$
12. $\overset{(5)}{y}+3ty^2\dddot{y}+\sin t \sin y=u(t), \mathrm{c.i. = 1}$
13. $\dddot{y}+y=u(t),y(0)=2,\dot{y}(0)=1,\ddot{y}(0)=-1$
14. $\overset{(5)}{y}+\overset{(4)}{y}=u(t), \mathrm{c.i. = 1}$

B. Sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior

1. $\left\{\begin{array}{l} \ddot{x}+3\dot{x}-\dot{y}=u_1\\\dot{y}+2\dot{x}+x-y=u_2\\ \end{array} \right.,  \mathrm{c.i. = 0}$
2. $\left\{ \begin{array}{l} \ddot{r}-r\omega^2+\frac{\mu}{r^2}=0 \\ r\dot{\omega}+2\dot{r}\omega=0\\ \end{array} \right., \mathrm{c.i. = 0}$

C. Ecuaciones con derivadas de la entrada

1. $\ddot{y}+3\dot{y}+4y=u-0.5\dot{u},y(0) =1,\dot{y}(0) =2,u(0) =0$
2. $\dddot{y}+3\dot{y}+4y=\ddot{u}-0.5\dot{u},y(0) =1,\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=2, u(0) =0, \dot{u}(0) =0$
3. $\dddot{y}+4\ddot{y}+3\dot{y}=\dot{u}+u,y(0)=0, \dot{y}(0)=2, \ddot{y}(0)=-1, u(0) =2$
4. $\overset{(5)}{y}+\overset{(4)}{y}=\ddot{u}+\dot{u},\mathrm{c.i. = 0}$
5. $\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}+2u, \mathrm{c.i. = 0}$

D. Caso de tiempo discreto

1. $y(k+5) +k y(k+4) +y^2(k+3) -3\sin k \sin y(k)=u(k) $
2. $y(k+3) +0.5y(k) =u(k) +0.5u(k+1)+0.3u(k+2) $
3. $y(k+1)-0.6y(k)=u(k)$ 
4. $y(k+2)-4y(k+1)+3y(k)=u(k)$
5. $y(k+2)+0.1y(k+1)-0.02y(k)=u(k)$
6. $y(k+2) -0.25y(k) =u(k), y(0) =1,y(1) =1$
7. $y(k+3) +0.8y(k+2) =u(k), y(0)=1,y(1)=-1,y(2)=2$ 
8. $y(k+1) -0.6y(k) =u(k+1) +0.2u(k), y(0) =2$
9. $y(k+2) -2y(k+1) -3y(k) =u(k+1) -3u(k), y(0) =-1, y(1) =-1$
10. $y(k+3)+0.8y(k+2)=u(k+1)+0.8u(k)$
11. $y(k+1)+ay(k)=u(k+1)+a u(k)$
12. $y(k) +3y(k-1) +6y(k-2) =u(k-2), y(0) =-1, y(1)=-2$
13. $y(k)-y(k-4)=u(k-1)+0.5u(k-3)$
14. $y(k) -y(k-1) =u(k), y(0) =2$