EP1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales y sus condiciones iniciales, (i) especificar las características de la ecuación (tipo, orden, variable dependiente, variable independiente, término independiente); (ii) hallar la solución general por el método adecuado, indicando el intervalo de definición de la solución; (iii) aplicar el teorema de existencia y unicidad al problema de valor inicial; (iv) resolver el problema de valor inicial; (v) reemplazar la solución en la ecuación diferencial para verificar el resultado; (vi) bosquejar la forma de la solución, es decir, graficar aproximadamente la solución de un problema sin necesidad de utilizar las proporciones correctas, lo cual implica una comprensión adecuada de dicha solución; (vii) utilizar las herramienta de matemáticas simbólicas de MATLAB para verificar los resultados y graficar la solución particular, tal y como se muestra en el código de MATLAB que se puede acceder desde este sitio web.

1. $\dot{y}+2y=0, y(0) =1$
2. $\dot{P}=kP, P(0) =1$. La ecuación modela el crecimiento de la población de una especie cuando hay recursos ilimitados, donde $P$ es el tamaño de la población, $t$ se da en días y $k=0.5$ es la constante de proporcionalidad que depende del medio y de la tasa reproductiva de la especie. En ese caso es natural que la velocidad de crecimiento $\dot{P}$ en un tiempo determinado sea proporcional a la población $P\left( t \right)$ en ese instante. ¿Cuál es el valor de $k$ si se tiene una población de bacterias y $P(10) =10$?
3. $\dot{y}=\frac{t}{y},y(0) =0$
4. $\dot{y}=\frac{t}{y},y(0) =1$
5. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(0) =0$
6. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(1) =0$
7. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(1) =1$
8. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(0) =1$
9. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(1) =0$
10. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(1) =1$
11. $\dot{y}=4\sqrt{y}\cos 2t,y(0) =0$
12. $\dot{h}=-\frac{A_o\sqrt{2gh}}{A_t},h(0) =1$. La ecuación modela la salida de líquido de un tanque por un orificio, donde $h$ es la altura del tanque en metros, $g=9.8~\mathrm{m/{s}^2}$ es la aceleración de la gravedad, $A_o=\pi (0.05)^2~\mathrm{m}^2$ es el área del orificio y $A_t=\pi(1)^2~\mathrm{m}^2$ es el área de la base del tanque. ¿En cuánto tiempo se vacía el 80 % del tanque?
13. $\dot{T}=k(T-T_m) ,T(0) =200$. La ecuación modela el proceso de enfriamiento de un cuerpo en contacto con el ambiente, donde $k=-0.2~\mathrm{s^{-1}}$ es la constante de proporcionalidad que depende de la forma de contacto del cuerpo con el medio (tamaño y material), $T$ es la temperatura del cuerpo en grados Celsius y $T_m=20~{\mathrm{°C}}$ es la temperatura del medio que lo rodea. ¿A cuánto es igual $k$ si un cuerpo alcanza la temperatura de $\mathrm{100~°C}$ en 30 minutos?
14. $\dot{P}=P(a-bP) ,P(0) =1,a=1,b=2$. El modelo corresponde a la ecuación logística de población $P(t)$, la cual tiene en cuenta una capacidad máxima.
15. $\dot{P}=P(a-bP) ,P(0) =1,a=2,b=1$
16. $\dot{y}+2y=u_s(t-1) ,y(0) =1$
17. $T\dot{y}+y=1,T=0.5,y(0) =0$
18. $T\dot{y}+y=\left\{ \begin{matrix}0,& t<1\\ 1,& t\geqslant 1\\ \end{matrix} \right.$ . Donde, $T=1.5,y(0)=2$
19. $\dot{y}+5y=e^{-t},y(0) =1$
20. $\dot{y}+5y=1+e^{-5t},y(0) =1$
21. $\dot{y}-y=2t,y(0) =2$
22. $\dot{y}+2y=3e^{-2t},y(0) =2$
23. $\dot{y}+3y=\sin t, y(0) =0$
24. $m\dot{v}=mg-fv,v(0) =0$. La ecuación modela la caída libre de un cuerpo en la Tierra desde cierta altura y en cierto medio viscoso, donde $g=9.8~\mathrm{m/{s}^2}$ es la aceleración de la gravedad, $m=1~\mathrm{kg}$ es la masa del cuerpo y $f=0.01~\mathrm{kg/s}$ es la fuerza de fricción del medio. ¿La velocidad aumenta indefinidamente o se estabiliza en algún valor?
25. $\dot{V}=\lambda e^{-\alpha t}V, V(0) =2$. La ecuación modela el crecimiento de un tumor, donde $\alpha =0.3$ y $\lambda =1$ son constantes positivas, $V(t)$ es el volumen del tumor en $mm^3$ y $t$ está dado en meses.
26. $Ldi/dt+Ri=V_e(t) ,i(0) =0$. La ecuación modela un circuito eléctrico básico RL en serie, donde $i(t)$ es la corriente en amperios, $V_e(t) =10\sin0.1t$ es el voltaje aplicado en voltios (V), $R=10~\Omega$ es la resistencia eléctrica en ohmios y $L=0.1~\mathrm{H}$ es la inductancia en henrios.
27. $Ldi/dt+Ri=V_e(t) ,i(0) =0$. Donde, los parámetros (constantes) son las mismas del ejercicio anterior y $V_e(t) =10~\mathrm{V}$.
28. $\dot{y}=-2y+e^{-3t},y(0) =2$
29. $\dot{y}=4y+e^{-t},y(0) =-1$
30. $t^2\dot{y}=y-ty, y(-1) =-1$
31. $(t+1) \dot{y}+y=\ln t,y(1) =10$
32. $(t+1) \dot{y}=3+y,y(0) =-4$
33. $t\dot{y}+(3t+1)y=e^{-3t},y(1) =0$
34. $\dot{y}\cos t+y\sin t=0,y(0) =2$
35. $\dot{y}+3t^2y-t^2=0,y(0) =1/3$
36. $\dot{y}+y\ln t=0,y(1) =e^{-1}$
37. $t^2\dot{y}+t(t+2) y=e^t,y(1) =e/2$
38. $\dot{y}=-2y+e^{-2t},y(0) =1$
39. $\dot{y}=\frac{ty}{t+1},y(1)=1/2$
40. $t\dot{y}+y=te^t, y(1) =0$
41. $\dot{y}=\frac{y-4}{t-3},y(0) =3$
42. $t\dot{y}+2y=3,y(1) =2$